টপোলজিতে, গণিতের একটি শাখা, ক্লিন বোতল একটি অমুখী পৃষ্ঠের উদাহরণ। এটি একটি দ্বি-মাত্রিক বহুগুণ যার জন্য একটি সিস্টেমকে স্বাভাবিক ভেক্টর নির্ধারণের জন্য ধারাবাহিকভাবে সংজ্ঞায়িত করা যায় না। অনানুষ্ঠানিকভাবে, এটি একটি একমুখী পৃষ্ঠ যা অতিক্রম করলে, ভ্রমণকারী ঘুরে দাঁড়ানোর সাথে সাথে মূলে ফিরে যেতে পারে।
এই নিবন্ধে আমরা আপনাকে ক্লেইন বোতল, এর বৈশিষ্ট্য এবং কৌতূহল সম্পর্কে আপনার যা জানা দরকার তা বলতে যাচ্ছি।
প্রধান বৈশিষ্ট্য
অন্যান্য সম্পর্কিত অ-প্রান্তিক বস্তুর মধ্যে রয়েছে মোবিয়াস স্ট্রিপ এবং সত্যিকারের প্রক্ষেপণ সমতল। মোবিয়াস স্ট্রিপগুলি আবদ্ধ পৃষ্ঠতল, যেখানে ক্লেইন বোতলগুলির কোনও সীমানা নেই। তুলনায়, একটি গোলক হল একটি অসীম অভিমুখযোগ্য পৃষ্ঠ। ক্লেইন বোতল প্রথম বর্ণনা করেছিলেন 1882 সালে জার্মান গণিতবিদ ফেলিক্স ক্লেইন। আপনি যদি অন্যান্য সম্পর্কিত প্রাকৃতিক ঘটনার বৈশিষ্ট্য সম্পর্কে আরও জানতে চান, তাহলে আপনি এই নিবন্ধটি দেখতে পারেন জলবায়ু পরিবর্তন কীভাবে আবহাওয়ার ঘটনাকে প্রভাবিত করে y জলবায়ু পরিবর্তনের প্রভাব. এছাড়াও, এর প্রভাব জানা আকর্ষণীয় হিমবাহের গলে যাওয়া জলবায়ু পরিবর্তনে।
লন্ডনের সায়েন্স মিউজিয়ামে হ্যান্ড-ব্লোন ক্লেইন কাঁচের বোতলের একটি সংগ্রহ প্রদর্শন করা হয়েছে, যা এই টপোলজিক্যাল থিমের অনেক বৈচিত্র দেখায়। বোতলগুলি 1995 সাল থেকে এবং অ্যালান বেনেট যাদুঘরের জন্য তৈরি করেছিলেন।
ক্লেইন বোতল নিজেই অতিক্রম করা হয় না. যাহোক, ক্লেইন বোতলটিকে চারটি মাত্রায় কল্পনা করার একটি উপায় রয়েছে। ত্রিমাত্রিক স্থানে একটি চতুর্থ মাত্রা যোগ করে স্ব-ছেদগুলি সরানো যেতে পারে। চতুর্থ মাত্রা বরাবর মূল 3D স্থান থেকে ছেদযুক্ত একটি টিউব বিভাগকে আলতো করে ধাক্কা দিন। একটি দরকারী উপমা হল একটি সমতলকে ছেদকারী একটি বক্ররেখা বিবেচনা করা। সমতল থেকে থ্রেডগুলি তুলে নিয়ে স্ব-ছেদগুলি সরানো যেতে পারে।
স্পষ্ট করার জন্য, ধরা যাক আমরা চতুর্থ মাত্রা হিসাবে সময় নিই। xyzt স্পেসে কীভাবে একটি গ্রাফ তৈরি করবেন তা বিবেচনা করুন। সংযুক্ত চিত্র ("সময়ের সাথে বিবর্তন...") এই চিত্রটির একটি দরকারী বিবর্তন দেখায়। t = 0 এ, প্রাচীরটি "ছেদ" এর কাছাকাছি কোথাও অঙ্কুরিত হয়। চিত্রটি বড় হওয়ার পরে, প্রাচীরের প্রথম অংশটি চেশায়ার বিড়ালের মতো অদৃশ্য হয়ে যেতে শুরু করে, কিন্তু তার বিস্তৃত হাসি পিছনে ফেলে. যখন গ্রোথ ফ্রন্ট যেখানে অঙ্কুর আছে সেখানে পৌঁছায়, তখন ক্রস করার কিছু থাকে না এবং বিদ্যমান কাঠামো ভেদ না করে বৃদ্ধি সম্পূর্ণ হয়।
ক্লেইন বোতল বৈশিষ্ট্য
একটি ক্লেইন ফ্লাস্ক হল একটি নন-ওরিয়েন্টেবল সারফেস যা প্রায়শই একটি বাঁকা ঘাড় সহ একটি লম্বা-গলাযুক্ত ফ্লাস্ক হিসাবে চিত্রিত করা হয় যা ভিতর থেকে বেস হিসাবে খোলা হয়। ক্লেইন বোতলের অনন্য আকৃতির অর্থ হল এটির শুধুমাত্র একটি পৃষ্ঠ রয়েছে: ভিতরে বাইরের সমান। একটি ক্লেইন বোতল আসলে ত্রিমাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থানের মধ্যে থাকতে পারে না, তবে একটি কাচ-ফুঁকানো উপস্থাপনা আমাদের কিছু আকর্ষণীয় অন্তর্দৃষ্টি দিতে পারে। এটি একটি আসল ক্লিন বোতল নয়, কিন্তু এটি কল্পনা করতে সাহায্য করে যে জার্মান গণিতবিদ ফেলিক্স ক্লেইন যখন ক্লেইন বোতলের ধারণা নিয়ে এসেছিলেন তখন তিনি কী কল্পনা করেছিলেন।
যদি প্রতীকটি একটি প্রাচ্যযোগ্য পৃষ্ঠের সাথে সংযুক্ত থাকে, যেমন একটি গোলকের বাইরে, তবে আপনি এটিকে যেভাবেই সরান না কেন এটি একই অভিযোজন বজায় রাখবে। ক্লেইন বোতলের বিশেষ আকৃতি আপনাকে প্রতীকটিকে বিভিন্ন দিকে স্লাইড করতে দেয়: এটি একই পৃষ্ঠে নিজের একটি আয়না চিত্র হিসাবে উপস্থিত হতে পারে। ক্লেইন বোতলের এই বৈশিষ্ট্য এটিকে অভিমুখী করা অসম্ভব করে তোলে।
ক্লেইন বোতলটির নামকরণ করা হয়েছে জার্মান গণিতবিদ ফেলিক্স ক্লেইনের নামে। ফেলিক্স ক্লেইনের গণিতের কাজ তাকে Möbius স্ট্রিপগুলির সাথে খুব পরিচিত করে তোলে। একটি Möbius স্ট্রিপ কাগজের একটি শীট যা অর্ধেক পালা ঘোরানো হয় এবং প্রান্ত থেকে প্রান্ত সংযুক্ত করা হয়। এই মোচড় কাগজের একটি সাধারণ শীটকে একটি অমুখী পৃষ্ঠে পরিণত করে। ফেলিক্স ক্লেইন যুক্তি দিয়েছিলেন যে যদি তিনি তাদের প্রান্ত বরাবর দুটি Möbius স্ট্রিপ যুক্ত করেন তবে তিনি একই অদ্ভুত বৈশিষ্ট্য সহ একটি নতুন ধরণের পৃষ্ঠ তৈরি করবেন: একটি ক্লেইন পৃষ্ঠ বা একটি ক্লেইন বোতল।
ক্লেইন বোতলটিকে একটি অ-ওরিয়েন্টেবল পৃষ্ঠ হিসাবে বর্ণনা করা হয়েছে কারণ যদি পৃষ্ঠের সাথে একটি প্রতীক সংযুক্ত থাকে তবে এটি এমনভাবে স্লাইড করতে পারে যে এটি একটি আয়না চিত্রের মতো একই অবস্থানে ফিরে আসতে পারে।
একটি ক্লেইন বোতল বাস্তব জীবনে তৈরি করা যেতে পারে?
দুর্ভাগ্যবশত আমরা যারা বাস্তব ক্লেইনের বোতল দেখতে চাই, আমরা যে ত্রিমাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থানটিতে বাস করি সেখানে সেগুলি তৈরি করা যাবে না। একটি ক্লেইন ফ্লাস্ক তৈরি করতে দুটি Möbius স্ট্রিপের প্রান্তগুলিকে সংযুক্ত করুন এটি ছেদ তৈরি করে যা তাত্ত্বিক মডেলগুলিতে বিদ্যমান নেই। ক্লেইন বোতলের আসল মডেলটিকে নিজের উপর দিয়ে যেতে হয়েছিল যখন ঘাড় পাশ থেকে চলে আসে। এটি আমাদের এমন কিছু দেয় যা সত্যিই একটি কার্যকরী ক্লেইন বোতল নয়, তবে পরীক্ষা করা এখনও মজাদার।
যেহেতু ক্লেইন জারের সাথে মোবিয়াস স্ট্রিপগুলির অনেক অদ্ভুত বৈশিষ্ট্য রয়েছে, তাই আমাদের মধ্যে যাদের ক্লেইন জারের জটিলতাগুলি বোঝার জন্য গভীর গণিত জ্ঞান নেই তারা ফেলিক্স ক্লেইনের ফ্যাসিনেটিং ফাইন্ড থেকে মোবিয়াস স্ট্রিপগুলি চেষ্টা করে দেখতে পারেন। এছাড়াও, যদি আপনি হিমবাহ গলে যাওয়ার উপর জলবায়ু পরিবর্তনের প্রভাব সম্পর্কে আগ্রহী হন, তাহলে আপনি কীভাবে এবং কীভাবে চীনে বহু মিলিয়ন ডলারের পানি প্রকল্প.
ক্লেইন পৃষ্ঠ
ক্লিফোর্ড স্টল এই দৈত্যাকার ক্লেইন বোতলটির ডিজাইনের পিছনের মানুষ, যার পরিমাপ 106 সেমি লম্বা, 62,2 সেমি চওড়া এবং 163,5 সেমি পরিধি। এটি 2001 এবং 2003 এর মধ্যে কিল্ডি সায়েন্টিফিক গ্লাস দ্বারা নির্মিত হয়েছিল।
বস্তুটির আসল নাম ক্লেইন ফ্লাস্ক (জার্মান ক্লেইনশে ফ্ল্যাশ) নয়, ক্লেইন সারফেস (জার্মান ক্লেইনশে ফ্ল্যাচে) ছিল। জার্মান থেকে ইংরেজিতে বিভ্রান্তিকর শব্দের রেফারেন্সের প্রথম বস্তুর অনুবাদ। একটি বোতল মনে করিয়ে দেয় 3D রেন্ডারিং চেহারার কারণে, খুব কমই কেউ বাগ লক্ষ্য করে.
যদি আমরা ক্লেইন বোতলটিকে তার প্রতিসাম্যের সমতলে দুই ভাগে ভাগ করি, তাহলে আমরা দুটি Möbius স্ট্রিপ তৈরি করি, যার প্রত্যেকটি অন্যটির একটি মিরর ইমেজ (যেন একটি আয়নায় দেখছে)। তারপর, একটি ক্লেইন বোতল একটি অমুখী পৃষ্ঠের উদাহরণ, একটি Möbius স্ট্রিপ হিসাবে. এটি প্রতিনিধিত্ব করা ছাড়া অন্য কোন কাজ নেই। ওরিয়েন্টেবল বা অ-ওরিয়েন্টেবল সারফেস হল টপোলজিকাল ধারণা। উভয়ই একমুখী পৃষ্ঠের উদাহরণ, যেহেতু তারা প্রাচ্যযোগ্য নয়। এটির জাদুটি এটিকে সম্পূর্ণরূপে অবিচ্ছিন্নভাবে ঢেকে রাখতে সক্ষম হওয়ার মধ্যে রয়েছে, এটির গঠনকারী সমস্ত পয়েন্টগুলিকে কভার করে।
আমি আশা করি এই তথ্যের সাহায্যে আপনি ক্লেইন বোতল এবং এর বৈশিষ্ট্য সম্পর্কে আরও জানতে পারবেন।
